Der Kosinussatz mit Beweis und Beispiel

Der Kosinussatz gibt uns die Beziehung zwischen einem Winkel und den drei Seiten in einem Dreieck an. Es ist eine sehr wichtige Lehrsatz in der Geometrie und gehört zum Thema Trigonometrie. Ein Dreieck hat drei Varianten,je nach dem, welche Seiten und Winkel du suchst [1]:

a2 = b2 + c2 – 2bc • cos(α)

b2 = a2 + c2 – 2ac • cos(β)

c2 = a2 + b2 – 2ab • cos(γ) Für γ=90 erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt cos (90∘) = 0

Damit ist der Satz des Pythagoras c^2= a^2 + b^2ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel:

Im Dreieck ABC seien die Werte a=6,10,α=45∘,β=55∘ und damit auch γ=80∘ gegeben. 1.Berechne zuerst mithilfe des Sinussatzes die Länge der Seite b: a:sin(α)= b:sin(β) ​ 2.Setze die bekannten Werte ein. 6,1:sin(45∘) =b:sin(55∘)

3. Löse nach b auf ​⇒b= sin(45∘):6,1⋅sin(55∘)=7,1

4.Berechne nun mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite c:

​c = 8,5 ​

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