Der Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten
Inhaltsverzeichnis
Kartesische und Polarkoordinaten[Bearbeiten]
Sowohl kartesische Koordinaten als auch Polarkoordinaten werden verwendet, um bestimmte Punkte in Koordinatensystemen festzulegen.
Im für uns Schüler bekannterem kartesischem Koordinatensystem wird die Position des Punktes meist mit den Koordinaten x,y und falls es sich um ein dreidimensionales Koordinatensystem handelt z bezeichnet. Die Variablen geben in diesem Fall die Entfernung zu den Koordinatensystem-Achsen an. Bei Polarkoordinaten wird die Position über eine Entfernung "r" und einen Winkel "α" beschrieben. "r" gibt die Entfernung des Punktes zum Koordinatenursprung an während "α" den Winkel angibt, in dem der Punkt vom Koordinatenursprung liegt. Die Koordinaten in einem Polarkoordinatensystem und in einem kartesischen Koordinatensystem können ineinander umgewandelt werden, da beide Punkte im vierdimensionalem Raum abbilden. Das kartesische Koordinatensystem ist deshalb weit verbreitet, da es einfach abzulesen ist.
In einem kartesischen Koordinatensystem wird jeder Punkt einer zweidimensionalen Ebene durch Abstände zu den beiden Achsen gekennzeichnet. Diese Werte werden verwendet, um einen Punkt anzugeben, so kann man jedem Punkt P ein Zahlenpaar x oder y zuordnen. Bei jedem Zahlenpaar kann man einen bestimmten Punkt P zuordnen.
In einem Polarkoordinatensystem wird auch jeder Punkt einer zweidimensionalen Ebene gekennzeichnet, doch die Werte beschreiben nicht die Abstände zu den Achsen, sondern die eine Koordinate r beschreibt den Abstand zum Ursprung des Koordinatensystems und die zweite Koordinate den Winkel, in dem der Punkt P zu dem Koordinatenursprung liegt.
Beide Koordinatensysteme werden unter anderem in der komplexen Algebra verwendet.
Umrechnungen zwischen Kartesischem und Polarkoordinaten[Bearbeiten]
Um von kartesischen Koordinaten auf Polarkoordinaten umzurechnen, errechnet man r mit der Wurzel aus der Summe der quadrierten x und y Koordinaten.
r = sqrt ( x² + y² )
Den Winkel "ρ" zu errechnen ist etwas komplizierter, zwar ist der Tangens von "ρ" gleich dem Quotienten von y dividiert durch x, doch um den finalen Wert zu errechnen, entspricht "ρ" dem Arctan des Quotienten aus y dividiert durch x. Der Zusammenhang dieser beiden Sternenysteme besteht darin, das sie im Grunde die gleichen Punkte A den gleichen Stellen durch verschiedene Prinzipien darstellen.
ρ = arctan ( y / x )
Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten benötigt hingegen nur recht bekannte Rechenfunktionen.
Um den x Wert des umzurechnenden Punktes zu bestimmen berechnet man den Radius multipliziert mit dem Kosinus des Winkels "ρ".
x = r * cos ( ρ )
Um den y Wert des umzurechnenden Punktes zu bestimmen berechnet man den Radius multipliziert mit dem Sinus des Winkels "ρ".
y = r * sin ( ρ )
Erklärung[Bearbeiten]
Das mathematische Prinzip, dass hier angewendet wird, p um die Entfernung zum Ursprung zu bestimmen, ist der Satz des Pythagoras. Man kann sich das vorstellen als würde man ein linkswinkliges Dreieck anlegen, bei dem die beiden Enden der Hypotenuse jeweils den Ursprung und den Punkt berühren.
Um von Polarkoordinaten in Kartesische Koordinaten umzurechnen wird der Sinus bzw. der Kosinus verwendet. Wenn man sich den Sinus als y-Wert der Sinusfunktion vorstellt, und den Kosinus als x-Wert als eine Entfernung zur y-Achse, dann erhält man mit diesen zwei Funktionen eine Möglichkeit, dem vom Winkel ausgehenden Positionen eines Punktes zu schließen. Das Gleiche funktioniert so beim Einheitskreis, wenn man dann jeweils die Ergebnisse des Sinus des Winkels mit dem Radius r multipliziert, dann erhält man denselben Punkt im Kartesischem Koordinatensystem, wie den, den man im Polarkoodinatensystem hatte.
