Der Sinussatz mit Beweis und Beispiel
Inhaltsverzeichnis
Definition[Bearbeiten]
Der Sinussatz verbindet entgegengesetzte Größen (Seiten und Winkel) in einem allgemeinen Dreieck.
Bei zwei entgegengesetzten Größen kann für die dritte die entgegengesetzte Größe berechnet werden.
Neben dem Kosinussatz ist der Sinussatz eines der wichtigsten Gesetze der Trigonometrie.
Wenn mit dem Sinussatz Winkel im Dreieck berechnet werden, muss man darauf achten, dass es im Intervall [0°;180°] Grundsätzlich zwei verschiedene Winkel mit dem gleichen Sinuswert gibt.
Außerdem gibt es in der sphärischen Trigonometrie einen entsprechenden Satz, der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird.
Allgemeine Formel[Bearbeiten]
Für die Berechnung eines gesuchten Winkels oder einer gesuchten Seite benötigt man eine Formel, welche die gegebenen Größen ins Verhältnis setzt.
Wie sich diese Verhältnisformel ableiten lässt, wird im Beweis des Sinussatzes genauer erklärt.
Der Sinussatz im Alltag[Bearbeiten]
Der Sinussatz ist auch im Alltag bestens für die Berechnung von zum Beispiel einer gesuchten Höhe geeignet und sehr nützlich.
Man benötigt im Gegensatz zum Satz des Pythagoras keinen rechten Winkel zwischen den Katheten, sondern misst von zwei verschiedenen Punkten den Winkel zur gesuchten Höhe.
Mit der gegebenen Strecke zwischen den Winkelpunkten lässt sich mit dem Sinussatz die Hypotenuse, also die Strecke von einem Winkelpunkt zur Höhe berechnen.
Mithilfe der umgeformten Sinusformel lässt sich die Gegenkathete (hier: die Höhe) bestimmen.
Beweise des Sinussatzes[Bearbeiten]
1. Beim spitzwinkligen Dreieck
Es gilt:
sin (β) = hᶜ÷a und sin (α) = hᶜ÷b oder
hᶜ = a⋅sin (β) und hᶜ = b⋅sin (α)
Daraus folgt:
a·sin (β) = b·sin (α) oder a÷b = sin (α)÷sin (β)
2. Beim rechtwinkligen Dreieck
Es gilt:
hᶜ = a·sin (β) und hᶜ = b
Da sin (α) = 1, ist hᶜ = b⋅sin (α)
Daraus folgt:
a·sin (β) = b·sin (α) oder a÷b = sin (α)÷sin (β)
3. Beim stumpfwinkligen Dreieck
Es gilt:
sin (δ) = sin (180°-α) = sin (α) = hᶜ÷b und sin (β) = hᶜ÷a
Daraus folgt:
sin (α)÷sin (β) = a÷b oder a÷b = sin (α)÷sin (β)
Beispiel[Bearbeiten]
Von einem Schiff S₁ aus sieht man die Spitze eines Leuchtturms unter einem Erhebungswinkel von α = 4,1° und von einem Schiff S₂ aus unter einem Erhebungswinkel von β = 14,58° (vgl. Bild unten). Beide Schiffe befinden sich genau westlich vom Leuchtturm und sind 630 m voneinander entfernt.
Berechne die Höhe h des Leuchtturms.
Berechnung des Beispiels[Bearbeiten]
[S₂L]÷sin(α) = [S₁S₂]÷sin(γ)
[S₂L]÷sin(4,1°) = [S₁S₂]÷sin(10,84°)
[S₂L]÷sin(4,1°) = 630m÷sin(10,84°) | ∙sin(4,1°)
[S₂L]÷sin(4,1°) = 630m÷sin(10,84°)
[S₂L] = 247,64m
sin (β) = h÷[S₂L] | ∙S₂L
h = sin(β)∙[S₂L]
h = sin(14,58°)∙[S₂L]
h = sin(14,58°)∙247,64m
h = 62,34m
Antwort: Der Leuchtturm hat eine Höhe von 62,34 Metern.
Bei Verständnisproblemen hier klicken.
Weitere Anwendungsaufgaben[Bearbeiten]
Siehe auch[Bearbeiten]
- Der Kosinussatz mit Beweis und Beispiel
- Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
- Sinus, Kosinus, und Tangens im rechtwinkligem Dreieck
Quellenverzeichnis[Bearbeiten]
